题目内容
若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－
＝0，x2＋6x－27＝0, x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．
(1)判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．
解：(1)不是．理由如下：
解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.
|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.
∵3.5不是整数，
∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．
(2)存在．理由如下：
∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，
∴ 假设c＝mb2＋n.
当 b＝－6，c＝－27时，有－27＝36m＋n.
∵x2＝0是“偶系二次方程”，
∴n＝0，m＝－
. 即有c＝－b2.
又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，
当b＝3时，c＝－×32＝－.
∴可设c＝－b2.
对任意一个整数b，当c＝－b2时，
∵Δ＝b2－4c＝4b2.
∴ x＝
.∴ x1＝－
b，x2＝
b.
∴|x1|＋|x2|＝|b|＋|b|＝2|b|.
∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－b2时，关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”．
练习册系列答案
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D.
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