Question

如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是AF，CE的中点，连结EG，FH．
（1）四边形EHFG是不是平行四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（2）求四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）四边形EHFG为平行四边形，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到DC与AB平行且相等，而E、F分别为AB、CD的中点，得到FC与AE平行且相等，即四边形AECF为平行四边形，可得出GF与HE平行，再由G、H分别为AF与CE中点，得到GF=HE，即可得到四边形GEHF为平行四边形；
（2）由E、F分别为AB、CD的中点，得到四边形AECF的面积=三角形ADF面积+三角形EBC面积=

1

2

平行四边形ABCD面积，作FJ垂直与CE，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，求出四边形EHFG面积与四边形AECF面积之比，即可确定出四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．

解答：解：（1）四边形EHFG为平行四边形，理由为：
∵ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=CF=

1

2

DC，AE=BE=

1

2

AB，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥EC，且AF=EC，
∵G、H分别为AF、CE的中点，
∴GF=EH，
则四边形EHFG为平行四边形；
（2）∵E、F为AB、CD的中点，
∴S_{四边形AECF}=S_△ADF+S_△EBC（底乘高可算得），即S_{平行四边形AECF}：S_{平行四边形ABCD}=1：2，
过F做FJ⊥CE于J点，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，
又∵G、H为中点，
∴S_{四边形EHFG}：S_{四边形AECF}=1：2（FJ•EC=FJ•2•EH），则S_{四边形EHFG}：S_{四边形ABCD}=1：4．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．