Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC与△ABE的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线y=上，
∴k=﹣4，
∴双曲线的解析式为y=﹣，
∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，
∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0），
∴，
解得：，
故抛物线的解析式为y=﹣x²﹣3x；
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x²﹣3x，
∴顶点E（﹣，），对称轴为x=﹣，
∴B（1，﹣4），
∴﹣x²﹣3x=﹣4，
解得：x₁=1，x₂=﹣4，
∴C（﹣4，﹣4），
∴S_△ABC=5×6×=15，
由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2，
设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（﹣，1），
∴EF=﹣1=，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=××3=；
（3）S_△ABE=，
∴8S_△ABE=15，
∴当点D与点C重合时，显然满足条件；
当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y=﹣2x﹣12，
令﹣2x﹣12=﹣x²﹣3x，
解得x₁=3，x₂=﹣4（舍去），
当x=3时，y=﹣18，
故存在另一点D（3，﹣18）满足条件．
综上可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）．