Question

【题目】已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．

（1）试说明点C在一次函数的图象上；

（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；

（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）存在．整数k的值为±4．（3）EF的最大值是4．

【解析】

（1）先求出二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a顶点C（1，﹣a），当x＝1时，一次函数值y＝﹣a所以点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；

（2）存在．将点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）代入二次函数解析式，用a、k表示出y1、y2，因为满足,把y1、y2代入整理可得关于k的方程，解方程检验即可求得k的值.

（3）分两种情况讨论：①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝

（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，

∴顶点C（1，﹣a），

∵当x＝1时，一次函数值y＝﹣a

∴点C在一次函数y＝﹣ax的图象上；

（2）存在．

∵点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，

∴y1＝ak2﹣2ak，y2＝a（k+2）2﹣2a（k+2），

∵满足

∴，

整理，得 ，

∴

∴，

解得k＝±4，

经检验：k＝±4是原方程的根，

∴整数k的值为±4．

（3）∵点E是二次函数图象上一动点，

∴E（n，an2﹣2an），

∵EF∥y轴，F在一次函数图象上，∴F（n，﹣an）．

①当﹣1≤n≤0时，EF＝yE﹣yF＝an2﹣2an﹣（﹣an）＝

∵a＞0，

∴当n＝﹣1时，EF有最大值，且最大值是2a，

又∵0＜a≤2，

∴0＜2a≤4，即EF的最大值是4；

②当0＜n≤1时，EF＝yF﹣yE＝﹣an﹣（an2﹣2an）＝此时EF的最大值是 ，

又∵0＜a≤2，

∴0＜ ≤ ，即EF的最大值是；

综上所述，EF的最大值是4．