Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先证∠BDE=∠ADF，再证△BDE≌△ADF，即可证明BE=AF；

（2）过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，先证△AMN≌△PMB，在Rt△AMP中，即可证明AB+AN=AM.

解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP=90°．

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM．

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，

在△AMN和△PMB

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM.