Question

如图，在半径为

10

，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个矩形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，且DE=2CD，则：
（1）弧AB的长是（结果保留π）

 

；
（2）图中阴影部分的面积为（结果保留π）

 

．

Answer 1

分析：（1）根据弧长公式l=

nπr

180

，计算即可；
（2）用扇形的面积减去三角形的OCD和矩形CDFE面积即可．连接OF，利用勾股定理求出OD的长．

解答：解：（1）∵n=45°，r=

10

，
∴l=

nπr

180

=

45×π× 10

180

=

10

4

π；

（2）连接OF，设CD=x，则DE=2x
∵∠O=45°，则OD=x，
在直角三角形OEF中，由勾股定理得OE²+EF²=OF²，
即（3x）²+x²=(

10

)2，
解得x=±1（舍去负数），
∴OD=1，
S_阴影=S_扇形AOB-S_△OCD-S_矩形CDFE
=

45×π×10

360

-

1×1

2

-1×2，
=

5π

4

-

5

2

，
=

5π-10

4

．
故答案为：

10

4

π；

5π-10

4

．

点评：本题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，熟练掌握弧长公式l=

nπr

180

，是解题的关键．