Question

如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB=30°的点P有

 

个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形的外角性质,等边三角形的性质,勾股定理,矩形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,切线的性质

专题：综合题,压轴题,探究型

分析：（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB=30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．

解答：解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P₁、P₂．
在优弧AP₁B上任取一点P，如图1，
则∠APB=

1

2

∠ACB=

1

2

×60°=30°．
∴使∠APB=30°的点P有无数个．
故答案为：无数．

（2）①当点P在y轴的正半轴上时，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），
∴OA=1，OB=5．
∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，
∴AG=BG=

1

2

AB=2．
∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∴CG=

AC2-AG2

=

42-22

=2

3

．
∴点C的坐标为（3，2

3

）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP₂，如图1，
∵点C的坐标为（3，2

3

），
∴CD=3，OD=2

3

．
∵P₁、P₂是⊙C与y轴的交点，
∴∠AP₁B=∠AP₂B=30°．
∵CP₂=CA=4，CD=3，
∴DP₂=

42-32

=

7

．
∵点C为圆心，CD⊥P₁P₂，
∴P₁D=P₂D=

7

．
∴P₂（0，2

3

-

7

）．P₁（0，2

3

+

7

）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P₃（0，-2

3

-

7

）．P₄（0，-2

3

+

7

）．
综上所述：满足条件的点P的坐标有：
（0，2

3

-

7

）、（0，2

3

+

7

）、（0，-2

3

-

7

）、（0，-2

3

+

7

）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大． 由sin∠AEH=

2

AE

得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，
∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．
∴四边形OPEH是矩形．
∴OP=EH，PE=OH=3．
∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，
∴EH=

EA2-AH2

=

32-22

=

5

∴OP=

5

∴P（0，

5

）．
②当点P在y轴的负半轴上时，
同理可得：P（0，-

5

）．
理由：
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB=∠ANB，
∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上，
同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，

5

）和（0，-

5

）．

点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．