Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为弧BE的中点，过点C作AE的垂线，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）连接EC，若AB＝10，AC＝8，求△ACE的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ACE的面积＝ ．

【解析】

（1）连接OC，由C为弧BE的中点，得到，求得∠CAD=∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到BC=，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论．

（1）证明：连接OC，

∵C为弧BE的中点，

∴，

∴∠CAD＝∠BAC，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠ACO，

∴AD∥OC，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC＝，

∵∠D＝∠ACB＝90°，

∠DAC＝∠CAB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴，

∴AD＝，CD＝，

∵

∴CE＝BC＝6，

∴DE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝，

∴△ACE的面积＝AECD＝.