Question

13．如图，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=$6\sqrt{2}$，点D的坐标是（7，0），∠BDO=15°，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（4，3$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接PD，过P作PF⊥x轴于F，再根据点C在BD上确定出∠PDB=45°并求出PD的长，然后求出∠PDO=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠DPF=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=$\frac{1}{2}$PD，利用勾股定理列式求出PF，再求出OF，即可得到点P，即旋转中心的坐标．

解答 解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P，
连接PD，过P作PF⊥x轴于F，
∵点C在BD上，
∴点P到AB、BD的距离相等，都是$\frac{1}{2}$BD，即$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴∠PDB=45°，
PD=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=6，
∵∠BDO=15°，
∴∠PDO=45°+15°=60°，
∴∠DPF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵点D的坐标是（7，0），
∴OF=OD-DF=7-3=4，
由勾股定理得，PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
即P点的坐标为（4，3$\sqrt{3}$），
故答案为：（4，3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中心的位置并得到含有30°角的直角三角形是解题的关键．