Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，CA=AO，点D在⊙O上，∠ABD=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点P在直线AB上，⊙P与⊙O外切于点B，与直线CD相切于点E，设⊙O与⊙P的半径分别为r与R，求

r

R

的值．

Answer 1

分析：（1）欲证：CD是⊙O的切线，只要转化为证明∠ODC=90°即可；
（2）连接PE，易证PE=

1

2

CP，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，就可以得到．

解答：（1）证明：连接OD、DA；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
又∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

AB=OA（2分），
∵AC=AO，
∴∠ODC=90°，
∴CD切⊙O于点D．（4分）

（2）解：方法一：连接PE，
由（1）知∠DAB=60°；
∵AD=AC，
∴∠C=30°，（5分）
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴PE=

1

2

CP，（7分）
∵PE=BP=R，CA=AO=OB=r，
∴3r=R，即

r

R

=

1

3

．（8分）
方法二：连接PE，
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴OD∥PE，（6分）
∴

OD

EP

=

CO

CP

，
即

r

R

=

2r

3r+R

．
∴

r

R

=

1

3

．（8分）

点评：证明切线可以证明直线经过半径的外端点，且垂直于这条半径．已知圆的切线可以连接圆心与切点．