Question

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．
（1）若n=1，则=______，=______；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE；
（3）当n=______时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．

Answer 1

解：（1）延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴，
设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=n，
∴PE=n，
∴AP：PE=3：5，
∴=，=；

（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴，
设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HDP，，
设AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH=，
∴PE=，
∴=，
∴8AP=3PE；

（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF=AD=AB，BF=AB，
∴BF=AF，
∴n=．
分析：（1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．
（2）同（1）解法．
（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．
点评：本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，通过构建相似三角形得出相关线段间的比例关系是求解的关键．