Question

9．已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 设点A在点B的左侧，过点C作CD⊥AB于点D，将y=0代入y=x²-2x-3中即可求出点A、B的坐标，再利用配方法将抛物线的解析式由一般式变形为顶点式，由此即可得出点C的坐标，结合正切的定义即可得出tan∠CAB的值．

解答 解：设点A在点B的左侧，过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
令y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴点A（-1，0），点B（3，0）．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点C（1，-4），
∴点D（1，0）．
∵AD=1-（-1）=2，CD=0-（-4）=4，
∴tan∠CAB=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4}{2}$=2．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、正切的定义以及二次函数的三种形式，根据二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质找出点A、B、C的坐标是解题的关键．