Question

17．（1）如图1，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=3，BC=6，CD=5，在BC边上确定一点P，使PA+PD最短，则PA+PD最小值为10．
（2）如图2，已知△ABC，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，点D为BC边上的动点，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，连接AD、EF，求EF的最小值．
问题解决
现在有一块三角形草坪，它的平面图形为△ABC，为了美化城市风貌，在AB、BC、CA三边各取一点，分别为E、D、F，以E、D、F为顶点的三角形内种植薰衣草，现需为薰衣草三边做护栏，为了节省护栏材料，即△DEF周长最小．
（3）如图3，若∠ABC=30°，BF=4，请在图3中画出△DEF周长的最小时，点D，E的位置，说明画图的依据，并计算此时△DEF的周长．
（4）如图4，若∠ABC=45°，∠ACB=60°，BC=2$\sqrt{3}$+2，请在备用图中画出△DEF周长最小时，点D、E、F的位置，并计算此时△DEF的周长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作点A关于直线BC的对称点A₁，连接DA₁交BC于P，连接AP，此时PA+PD最小．作A₁E⊥DC于E，在Rt△DEA₁中利用勾股定理即可解决问题．
（2）首先证明四边形AEDF是矩形，推出EF=AD，当AD⊥BC时，AD的长最短，求出AD的最小值即可解决问题．
（3）作点F关于直线AB的对称点P，点F关于直线BC的对称点Q，连接PQ交AB于E，交BC于D，连接EF、DF，此时△DEF的周长最小．只要证明△PBQ是等边三角形即可解决问题．
（4）作BF⊥AC于F，作点F关于直线AB的对称点P，点F关于直线BC的对称点Q，连接PQ交AB于E，交BC于D，连接EF、DF，此时△DEF的周长最小．只要证明△PBQ是等腰直角三角形，求出PQ即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作点A关于直线BC的对称点A₁，连接DA₁交BC于P，连接AP，此时PA+PD最小．作A₁E⊥DC于E，

∵∠CBA₁=∠BCE=∠E=90°，
∴四边形BCEA₁是矩形，
∴AB=BA₁=EC=3，
在Rt△EDA₁中，∵∠E=90°，EA₁=6，DE=8，
∴DA₁=$\sqrt{D{E}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴PA+PD的最小值=PA₁+PD=DA₁=10．
故答案为10．

如图2中，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的长最短，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AC=$\frac{1}{2}$•BC•AD，
∴AD=$\frac{AB•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

（3）如图3中．

作点F关于直线AB的对称点P，点F关于直线BC的对称点Q，连接PQ交AB于E，交BC于D，连接EF、DF，此时△DEF的周长最小．
∴∠ABP=∠ABF，∠BCF=∠BCQ，BF=BP=BQ，
∵∠ABC=30°，
∴∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=PB=BF=4，
∴△DEF的周长的最小值=EF+ED+DQ=PE+ED+DQ=PQ=4．

（4）作BF⊥AC于F，

作点F关于直线AB的对称点P，点F关于直线BC的对称点Q，连接PQ交AB于E，交BC于D，连接EF、DF，此时△DEF的周长最小．
∴∠ABP=∠ABF，∠BCF=∠BCQ，BF=BP=BQ，
∵∠ABC=45
∴∠PBQ=90
∴△PBQ是等腰直角三角形，
在Rt△BCF中，∵∠BFC=90°，BC=2$\sqrt{3}$+2，∠C=60°，
∴∠CBF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$+1，BF=$\sqrt{3}$CF=3+$\sqrt{3}$，
在Rt△PBQ中，PQ=$\sqrt{2}$PB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴△DEF的周长的最小值=EF+DE+DF=PE+DE+DQ=PQ=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形综合题、轴对称-最短问题、两点之间线段最短、等边三角形的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用对称解决最短问题，属于中考常考题型．