Question

11．已知二次函数的图象经过点（1，10），且当x=-1时，y有最小值y=-2，
（1）求这个函数的关系式；
（2）x取何值时，y随x的增大而减小；
（3）当-2＜x＜4时，求y的取值范围；
（4）x取何值时，y＜0．

Answer 1

分析 （1）已知当x=-1时，二次函数有最小值y=-2，故抛物线的顶点坐标为（-1，-2），设出顶点式，代入点（1，10）求解即可；
（2）直接利用函数对称轴以及开口方向得出x的取值范围；
（3）利用二次函数增减性求出y的取值范围；
（4）利用y=0时求出x的值，进而得出答案．

解答 解：（1）∵当x=-1时，y有最小值y=-2，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-2）
设二次函数的解析式为y=a（x+1）²-2，由于抛物线过点（1，10），则有：
a（1+1）²-2=10，
解得a=3；
故抛物线的解析式为：y=3（x+1）²-2；

（2）∵a=3＞0，对称轴为：直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小；

（3）∵当x=-2时，y=3-2=1，当x=4时，y=3×5²-2=73，
∴当-2＜x＜4时，y的取值范围是：-2≤y＜73；

（4）当y=0时，0=3（x+1）²-2，
解得：x₁=-1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$，x₂=-1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故当-1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜x＜-1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，y＜0．

点评 此题主要考查待定系数法求函数解析式以及二次函数增减性等知识，用待定系数法求二次函数解析式，要找出题目叙述的关键点，正确设出函数解析式，代入求得答案即可．