Question

11．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA=5，PB=4，PC=3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．求：
（1）点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）连结PQ，如图，根据等边三角形得性质得∠ABC=60°，BA=BC，再利用旋转的性质得BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，BP=BQ=4，∠PBQ=60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ=PB=4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，再加上∠BPQ=60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．

解答 解：（1）连结PQ，如图，
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，BA=BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴BP=BQ，∠PBQ=∠ABC=60°，CQ=AP=5，
∵BP=BQ=4，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4；
（2）∵QC=5，PC=3，PQ=4，
而3²+4²=5²，
∴PC²+PQ²=CQ²，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC=90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ=60°，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=60°+90°=150°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．