Question

19．已知a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₁₇=-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根据差倒数的定义分别求解，然后根据变化规律确定出3个数为一个循环组依次循环，再用2017除以3，根据商和余数的情况解答．

解答 解：a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…，
依此类推，每3个数为一个循环组依次循环，
∵2017÷3=672余1，
∴a₂₀₁₇为第673循环组的第一个数，
∴a₂₀₁₇=a₁=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题是对数字变化规律的考查，读懂题目信息，理解差倒数的定义并求出3个数为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．