Question

已知：如图，AB⊥BC，AB=BC=4，DC⊥BC，点E是BC边上的一个动点（点E不与点B、C重合），连结AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．设BE的长为x，CF的长为y．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,根据实际问题列二次函数关系式

专题：计算题

分析：根据垂直的定义得到∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，再根据等角的余角相等得到∠A=∠CEF，根据三角形相似的判定得到Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比即可得到y与x之间的函数关系式．

解答：解：BE的长为x，则CE=BC-BE=4-x，CF的长为y，
∵AB⊥BC，EF⊥AE，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠AEF=∠DCB=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEF=90°，
∴∠A=∠CEF，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴

AB

CE

=

BE

CF

，即

4

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

4

x²+x（0＜x＜4）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．