Question

17．如图，两个等边△ABC、△ADE（顶点依逆时针方向排列），F、G、H分别是AD、BE、AC的中点，求证：△FGH是等边三角形．

Answer 1

分析 如图，连接EC、BD，取EC、BD的中点M、N，想办法证明△FAH≌△GNF，推出FH=FG，△FAH≌△HMG，推出HF=HG，由此即可解决问题．

解答 证明：如图，连接EC、BD，取EC、BD的中点M、N，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=DE=AE，
∵BG=EG，BN=ND，
∴GN∥DE，GN=$\frac{1}{2}$DE，同理MH=$\frac{1}{2}$AE，
∴GN=HM=AF，同理可证：FN=GM=AH，
∵∠GNF=∠GNB+∠BNF=∠BDE+∠NDF+∠NFD=60°+∠NFD，
∵FN∥AB，
∴∠NFD=∠BAD，
∵∠FAH=∠FAB+∠BAC=60°+∠NFD，
∴∠GNF=FAH，
∴△FAH≌△GNF，
∴FH=FG，
同理可证：△FAH≌△HMG，
∴GH=HF，
∴HF=FG=GH，
∴△HFG是等边三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题，属于中考压轴题．