Question

13．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S₁，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂，…按照此规律继续下去，则S₂₀₁₅的值为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹²
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹³
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹²
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹³

Answer 1

分析 根据题意可知第2个正方形的边长是$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$，则第3个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×2$，…，进而可找出规律，第n个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}×2$，那么易求S₂₀₁₅的值．

解答 解：根据题意：第一个正方形的边长为2；
第二个正方形的边长为：$\frac{\sqrt{2}}{2}×2$；
第三个正方形的边长为：$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×2$，
…
第n个正方形的边长是$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n-1}×2$，
所以S₂₀₁₅的值是（$\frac{1}{2}$）²⁰¹²，
故选C

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的边长．