Question

15．如图1，四边形ABCD是某市凌河休闲广场一个供市民休息和观赏的看台侧面示意图．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD中，AB∥CD，AB=2米，BC⊥DC，∠ADC=30°．从底边DC上点E测得点B的仰角∠BEC=60°，且DE=6米．
（1）求AD的长度；
（2）如图2，为了避免白天市民在看台AB和AD的位置受到与水平面成45°角的光线照射，想修建一个遮阳篷，求这个遮阳篷的宽度HG是多少米？（计算结果都保留根号）

Answer 1

分析 （1）作BF⊥AD角CD于F，证明四边形ABFD是平行四边形，得到DF=2，BC=x，在Rt△BCE中，根据正切求出CE，列方程求出x，得到答案；
（2）证明四边形DHGP是平行四边形，得到HG=DP，求出DP即可．

解答 解：（1）如图1，作BF⊥AD角CD于F，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF=2，AD∥BF，
∴∠BFE=∠D=30°，EF=DE-DF=4，
在Rt△BCF中，设BC=x米，
则BF=2x，CF=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCE中，∠BEC=60°，
∴CE=$\frac{BC}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴EF=CF-CE=$\sqrt{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴AD=BF=2x=4$\sqrt{3}$；
（2）∵DH∥PG，HG∥PD，
∴四边形DHGP是平行四边形，
∴HG=DP，
由题意得，∠BPE=45°，
在Rt△BCE中，BC=CP=2$\sqrt{3}$，
由（1）知，EC=2，∴PE=PC-EC=2$\sqrt{3}$-2，
∵HG=DP=DE-PE，
∴HG=6-（2$\sqrt{3}$-2）=8-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、灵活应用锐角三角函数的概念是解题的关键．