Question

如图8-54,已知在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

图8-54

(1)求四边形AQMP的周长;

(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);

(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形?说明你的理由.

Answer 1

2a.

提示：根据平行的性质可以得到平行四边形和两个等腰三角形，由对边和腰相等，四边形的周长等于△ABC的两腰之和.

∵PM∥AB，QM∥AC,

∴四边形AQMP为平行四边形，

且∠1=∠C，∠2=∠B.

又∵AB=AC=a,

∴∠B=∠C.

∴∠1=∠B=∠C=∠2.

∴QB=QM，PM=PC.

∴四边形AQMP的周长为

AQ+QM+MP+PA=AQ+QB+PC+PA=AB+AC=2a.

(2)答案：△BQM∽△MPC∽△BAC.

(3)答案：当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.

提示：四边形AQMP已是平行四边形，要使之为菱形，则需有一组邻边相等.

理由：∵M为底边BC的中点,

∴BM=CM.

由(1)知∠B=∠C，∠1=∠2,

∴△BQM≌△CMP.

∴PM=QM.

由(1)四边形AQMP为平行四边形,

∴四边形AQMP为菱形.