Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点．

（1）求出二次函数和所在直线的表达式；

（2）在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标；

（3）连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标是．

【解析】

（1）将，代入，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段所在直线的表达式，求解即可；

（2）根据题意只要，四边形即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，设点的横坐标为，则，，得出，根据，得，求解即可；

（3）由（2）知，，根据与有共同的顶点，且在的内部，只有当时，，利用勾股定理，可得

，，根据，即，解出t值，即可得出答案．

解：（1）由题意，将，代入，

得，

解得，

∴二次函数的表达式，

当时，，得点，又点，

设线段所在直线的表达式，

∴，解得，

∴所在直线的表达式；

（2）∵轴，轴，

∴，

只要，此时四边形即为平行四边形，

由二次函数，

得点，

将代入，即，得点，

∴，

设点的横坐标为，则，，

由，得，

解之，得（不合题意舍去），，

当时，，

∴；

（3）由（2）知，，

∴，

又与有共同的顶点，且在的内部，

∴，

∴只有当时，，

由，，，

利用勾股定理，可得，，

由（2）以及勾股定理知，，

，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

当时，，

∴点的坐标是．