题目内容

△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论① $数学公式$ 为定值；② $数学公式$ 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加并求出定值，不必证明．

解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC
在Rt△ADC和Rt△COB中
$\text{[math]}$
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）
∴OB=CD=2
∴点B的坐标是（0，2）

（2）猜想： $\text{[math]}$
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，

∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF= $\text{[math]}$ ，
在△BCD和△ACF中，
$\text{[math]}$
∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD
∴ $\text{[math]}$

证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF= $\text{[math]}$
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中
$\text{[math]}$
∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF= $\text{[math]}$

（3）结论 $\text{[math]}$ 成立
$\text{[math]}$ =1
分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）此题有两种证法：①延长AE交BC的延长线于点，证明△ABE≌△FBE即易求 $\text{[math]}$ ；②作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD．证明Rt△GDF≌Rt△EAD即易求 $\text{[math]}$ ．
（3） $\text{[math]}$ =1，若证明则过点A作AM⊥CO于M，证明△BOC≌△CMA即可．
点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题较难，尤其（3）须巧妙借助辅助线作出全等三角形．