Question

3．AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，BE⊥CD于E，连接AC、BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若⊙O的半径为3，BE=4，求AC、BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由于CD是⊙O的切线，所以∠OCD=90°，所以易证：∠OCD=∠BED，由于∠OCB=∠OBC，所以BC平分∠ABE；
（2）易证△ABC∽△CBE，从而可知$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，由于AB与BE的长度可求，所以BC的长度可求出，利用勾股定理即可求出AC的长度．

解答 解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴∠OCD=∠BED，
∴OC∥BE，
∴∠OCB=∠CBE
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，
∴BC平分∠ABE；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEC，
∵∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{BE}$，
∴BC²=AB•BE，
∵AB=6，BE=4，
∴BC=2$\sqrt{6}$，
在Rt△ACB中，
∴由勾股定理可知：AC=2$\sqrt{3}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，本题属于中等题型．