Question

1．已知实数a，b，c，d满足2a²+3c²=2b²+3d²=（ad-bc）²=6，求：（a²+b²）（c²+d²）的值．

Answer 1

分析 由2a²+3c²=2b²+3d²=6得4a²b²+6a²d²+6b²c²+9c²d²=36，由a²d²-2abcd+b²c²=6得a²d²+b²c²=6+2abcd，从而有6a²d²+6b²c²=36+12abcd，即2ab=-3cd ①，结合2（a²-b²）=-3（c²-d²）②，①×②得（ac+bd）（ad-bc）=0，知ac+bd=0，代入原式=（ac+bd）²+（ad-bc）²可得答案．

解答 解：∵2a²+3c²=2b²+3d²=6，
∴（2a²+3c²）（2b²+3d²）=36，即4a²b²+6a²d²+6b²c²+9c²d²=36，
∵（ad-bc）²=6，
∴a²d²-2abcd+b²c²=6，即a²d²+b²c²=6+2abcd，
∴6a²d²+6b²c²=36+12abcd，
∴4a²b²+36+12abcd+9c²d²=36，即（2ab+3cd）²=0，
∴2ab=-3cd ①，
由2a²+3c²=2b²+3d²知2（a²-b²）=-3（c²-d²） ②，
①×②，得：-6cd（a²-b²）=-6ab（c²-d²），即cd（a²-b²）=ab（c²-d²），
a²cd-b²cd-abc²+abd²=0，
（ac+bd）（ad-bc）=0，
∵（ad-bc）²=6，
∴ad-bc≠0，
则ac+bd=0，
∴（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²
=（ac+bd）²+（ad-bc）²
=0²+6
=6．

点评 本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解和整式的乘法是解题的关键．