题目内容
如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=| 3 |
| 2 |
| A、①③ | B、①②④ |
| C、①②③ | D、②③ |
分析：根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断．
解答：解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=
（∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，
∠PAH=∠BAP=∠BFP，
PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH-S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP-S△EOH+S△DOP=2S△ABP-S△EOH+S△DOP≠
S△ABP．
故选C．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=
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∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，
∠PAH=∠BAP=∠BFP，
PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S四边形ABDE=S△ABP+S△BDP+S△APH-S△EOH+S△DOP=S△ABP+S△ABP-S△EOH+S△DOP=2S△ABP-S△EOH+S△DOP≠
| 3 |
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故选C．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
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如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．