题目内容

已知二次函数y=x²-2mx+m²-4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D．
（1）当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（2）当m=-1时，将函数y=x²-2mx+m²-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线 $数学公式$ 与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围．

解：令y=0得x²-2mx+m²-4=0，解得x₁=m-2，x₂=m+2，
∴A（m-2，0），B（m+2，0），D（0，m²-4），
（1）∵点D在y轴正半轴，
∴m²-4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO=OD，
即|m+2|=m²-4，
①当m+2＞0时，m²-4=m+2，解得x=3或x=-2（舍去）；
②当m+2＜0时，m²-4+m+2=0，解得x=1或x=-2（都舍去）；
③当m+2=0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；
综上所述，m=3．

（2）当m=-1时，y=x²+2x-3，则A（-3，0），B（1，0）顶点为（-1，-4）
因为直线 $\text{[math]}$ 与图象Ω有两个公共点，
则当直线 $\text{[math]}$ 过A点时 $\text{[math]}$ ，
当直线 $\text{[math]}$ 过B（1，0）时， $\text{[math]}$ ，
当直线 $\text{[math]}$ 与y=-x²-2x+3只有一个公共点时， $\text{[math]}$ ，
根据图象，可得 $\text{[math]}$ ．

分析：（1）令y=0求得方程的两个解，即得出A、B、D的坐标；再根据点D在y轴正半轴，分情况讨论，从而得出m的值；
（2）由已知条件，得出A、B的坐标，即得出抛物线的顶点，由直线与图象的交点个数求出b的不同值，再得出b的取值范围即可．
点评：本题是一道难度较大的二次函数题，综合考查了等腰三角形的性质，需注意分类讨论各种情况．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄清直线与图象的交点个数是解题的关键．