Question

如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，
求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；
（2）大六角星形的面积；
（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．
（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）

Answer 1

分析：（1）连接CO，则△AOC是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30，由AC=a，即可得到OA的长．
（2）大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍，在Rt△ACM中，由∠CAM=30°，得到CM=

1

2

AM，再根据勾股定理即可得到AM=

2 3

3

a，然后根据三角形面积公式得到大六角星形的面积S=12×

1

2

×

2 3

3

a×a=4

3

a2．
（3）大小六角星形相似，面积的比等于对应边的比的平方，而小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，由此得到大六角星形的面积与六个小六角星形的面积和的比值．

解答：解：（1）连接CO，AC=a，
则△AOC是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30°，
所以AO=2AC=2a；

（2）如图，大六角星形的面积是等边△AMN面积的12倍，
∵∠CAM=30°，
∴CM=

1

2

AM，
在Rt△ACM中，
AM²=（

AM

2

）²+a²，解得AM=

2 3

3

a，
所以大六角星形的面积S=12×

1

2

×

2 3

3

a×a=4

3

a2；

（3）小六角星形的顶点C到其中心A的距离为a，大六角星形的顶点A到其中心O的距离为2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，
所以大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3．

点评：本题考查了相似图形面积的比等于对应边的比的平方．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及三角形的面积公式．