Question

如图，直线DE与BC不平行，已知A为线段DE上一点且满足

DA

AE

=

1

n

，n＞0，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S₁、S₂、S₃，则满足S₁、S₂、S₃之间的关系式S2=

n

n+1

(S1+S3)的点A为（　　）

• A、只能是线段DE的中点
• B、线段DE的中点和三等分点
• C、线段DE上除两端点外任意一点都满足
• D、线段DE上满足n为整数的点

Answer 1

分析：首先分别假设A是线段DE的中点与A是线段DE的三等分点，再依次分析．分别过点D，A，E作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，EF⊥BC于F，依依据梯形中位线与三等分线的性质求解即可．

解答：解：①分别过点D，A，E作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，EF⊥BC于F，
∴DM∥AN∥EF，
若A是线段DE的中点，
∴DA=AE，
∴MN=FN，
∴AN=

1

2

（DM+EF），
∴S_△ABC=

1

2

BC•AN=

1

2

BC•

1

2

（DM+EF）=

1

4

BC•（DM+EF），S_△DBC+S_△EBC=

1

2

BC•DM+

1

2

BC•EF=

1

2

BC•（DM+EF），
∴S_△ABC=

1

2

（S_△DBC+S_△EBC）．
∵DA：AE=1：n，
∴n=1．
∴S₂=

1

2

（S₁+S₃）．
故A是线段DE的中点时成立．
②若A是线段DE的三等分点，
（如图：E、F是梯形的腰AB、CD的三等分点，则可得：EF=

2

3

（BC+

1

2

AD），）
同①，可证得：AN=

2

3

（DM+

1

2

EF）．
∵S_△ABC=

1

2

BC•AN=

1

2

BC•

1

2

（DM+EF），S_△DBC+S_△EBC=

1

2

BC•DM+

1

2

BC•EF=

1

2

BC•（DM+EF），
∴此时不成立．
故A正确，B，C，D错误．
故选A．

点评：此题考查了梯形中位线的性质与三角形面积问题．此题难度较大，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．