Question

16．已知关于x的方程x²+2（k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x₁+x₂-9|=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的方程x²-（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，再将它们代入|x₁+x₂-9|=x₁x₂，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2k-3）]²-4k²=-12k+9＞0，
解得k＜$\frac{3}{4}$．
（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=-2（k-3），x₁x₂=k²，
∵|x₁+x₂-9|=x₁x₂，
∴|-2（k-3）-9|=k²，
化简得k²+2k-3=0，
解得：k=1或k=-3，
又∵k＜$\frac{3}{4}$，
∴k=-3．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；（4）x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$；（5）x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．