Question

1．如图，点A，B都在直线l的同一侧，若P为直线l上一点，且满足PA+PB最短为点A到直线l的距离与点B到直线L的距离之和的2倍，则∠APB=120度．

Answer 1

分析 如图所示作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA′+PB=2（A′M+BM），由BN∥MA′，可知$\frac{MA′}{A′P}=\frac{NB}{PB}=\frac{MA′+BN}{A′P+PB}=\frac{1}{2}$，从而可求得∠BPN=∠MPA′=30°，从而可求得∠APB=120°．

解答 解：如图所示：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．

由轴对称的性质可知；AP=PA′，
∵AP=PA′，
∴PA+PB=P′A+PB=A′P．
∵PA+PB最短为点A到直线l的距离与点B到直线L的距离之和的2倍，
∴$\frac{A′M+BN}{A′P+PB}=\frac{1}{2}$．
∵BN∥MA′，
∴$\frac{MA′}{A′P}=\frac{BN}{PB}=\frac{1}{2}$．
∴∠BPN=∠MPA′=30°，
∴∠APB=120°．
故答案为：120．

点评 本题主要考查的是轴对称--最短路径问题，平行线分线段成比例定理、特殊锐角三角函数值、比例的性质，利用特殊锐角三角函数值求得∠BPN=∠MPA′=30°是解题的关键．