Question

【题目】已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段OE⊥OF，且与边AD、AB交于点E、F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）连接EF，交AC于点H，若HF：AF＝：2，求OH：EF；

（3）若E、F分别在DA、AB延长线上，OE与AB交于点M，若△MOF∽△EAF，AF＝1，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）＝；（3）正方形的边长为2﹣

【解析】

（1）证明△EOA≌△FOB（ASA）即可解决问题；

（2）证明△OEH∽△FAH，推出＝，可得＝＝，由EF＝OE，可得＝＝，由此即可解决问题；

（3）首先证明OA＝OB＝BF，设OA＝OB＝BF＝x，则AB＝x，根据AF＝1，构建方程即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，AC⊥BD，∠EAO＝∠OBF＝45°，

∵OE⊥OF，

∴∠EFO＝∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

∴△EOA≌△FOB（ASA），

∴OE＝OF．

（2）解：如图1中，∵OE＝OF，∠EOF＝90°，

∴∠OEF＝∠OFE＝45°，

∵∠CAB＝45°，

∴∠OEH＝∠FAH，

∵∠EHO＝∠AHF，

∴△OEH∽△FAH，

∴FF0C，

∵EF＝OE，

∴，

∴＝；

（3）解：如图2中，

∵△MOF∽△EAF，

∴∠OFM＝∠EAF，

由（1）可知△AOE≌△BOF，

∴OE＝OF，

∵∠EOF＝90°，

∴∠EFO＝45°，

∴∠BFO＝∠BFE＝22.5°，

∵∠ABO＝∠BFO+∠BOF＝45°，

∴∠BOF＝∠BOF＝22.5°，

∴OB＝BF，

∵OA＝OB，

∴OA＝OB＝BF，设OA＝OB＝BF＝x，则AB＝x，

∵AF＝AB+BF＝x+x＝1，

∴x＝﹣1，

∴AB＝AF﹣BF＝1﹣（﹣1）＝2﹣，

∴正方形的边长为2﹣．