Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．
（1）若AD=10，sin∠ADC=

4

5

，求AC的长和tanB的值；
（2）若AD=1，∠ADC=α，参考（1）的计算过程直接写出tan

α

2

的值（用sinα和cosα的值表示）．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ADC中利用锐减三角函数的定义求得AC=4，根据勾股定理求得CD=6；然后利用DE是线段AB的垂直平分线的性质推知AD=BD；最后在直角三角形ABC中，由锐角三角函数的定义来求tanB的值即可；
（2）根据（1）的解答过程直接写出结果tan

α

2

=

sinα

1+cosα

．

解答：解：（1）∵sin∠ADC=

4

5

，AD=10，
∴

AC

AD

=

4

5

；
又∵AD=10，
∴AC=8；
∴在Rt△ADC中，CD=6；
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴tanB=

AC

CD+BD

=

AC

CD+AD

=

8

16

=

1

2

，即tanB=

1

2

；

（2）在Rt△ADC中，AC=AD•sin∠ADC，
∵AD=1，∠ADC=α，
∴AC=sinα，CD=cosα；
又∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BD=AD=1，
∴∠DAB=∠B（等边对等角）；
而∠ADC=∠DAB+∠B（外角定理），
∴∠B=

α

2

，
∴tan∠B=

AC

CD+AD

=

sinα

1+cosα

，即tan

α

2

=

sinα

1+cosα

．

点评：本题考查了解直角三角形、勾股定理以及锐角三角函数的定义．求BC的长度时，利用“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”求得BD的长度是解答（1）的关键所在．