Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB＝4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD＝∠B．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AD＝1，求BC的长；

（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OC，由OB＝OC，利用等边对等角得到∠BCO＝∠B，由∠ACD＝∠B，得到∠ACD+∠OCA＝90°，即可得到EF为圆O的切线；

（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC＝2，由勾股定理求出BC的长即可；

（3）求出∠B＝30°，可得∠AOC＝60°，在Rt△ACD中，求出CD，然后用梯形ADCO和扇形OAC的面积相减即可得出答案．

（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠OCA＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠BCO＝∠B，

∵∠ACD＝∠B，

∴∠ACD+∠OCA＝90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC和Rt△ACD中，

∵∠ACD＝∠B，∠ACB＝∠ADC，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴，

∴AC2＝ADAB＝1×4＝4，

∴AC＝2，

∴；

（3）解：∵在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，

∴∠B＝30°，

∴∠AOC＝60°，

在Rt△ADC中，∠ACD＝∠B＝30°，AD＝1，

∴CD＝＝＝，

∴S阴影＝S梯形ADCO﹣S扇形OAC＝．