Question

Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=______°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：______；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：______．

Answer 1

解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140°；

（2）由（1）得出：
∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；


（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α，

（4）∵∠PFD=∠EFC，
∴180°-∠PFD=180°-∠EFC，
∴∠α+180°-∠1=∠C+180°-∠2，
∴∠2=90°+∠1-α．
故答案为：∠2=90°+∠1-α．
分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．
点评：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．