Question

【题目】如图，在⊙O中AB是直径，点F是⊙O上一点，点E是的中点，过点E作⊙O的切线，与BA、BF的延长线分别交于点C、D，连接BE．

（1）求证：BD⊥CD．

（2）已知⊙O的半径为2，当AC为何值时，BF＝DF，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当AC＝4时，BF＝DF．理由见解析．

【解析】

（1）连结OE，由直线CD与⊙O相切于点E，得到OE⊥CD，由同圆的半径相等推出∠ABE＝∠OEB，由点E是的中点，得到∠ABE＝∠DBE，证得∠DBE＝∠OEB，得到OE∥BD，得出结论BD⊥CD；

（2）当AC＝4时，连接AF，证明AF∥CD，所以，即BF＝DF．

（1）如图1，连接OE，

∵CD与⊙O相切于点E，

∴OE⊥CD，

∴∠CEO＝90°．

∵点E是的中点，

∴，

∴∠ABE＝∠DBE，

∵OB＝OE，

∴∠ABE＝∠OEB，

∴∠DBE＝∠OEB，

∴OE∥BD，

∴BD⊥CD；

（2）当AC＝4时，BF＝DF．

理由如下：

如图2，连接AF，

∵AB是的直径，

∴∠AFB＝90°，

由（1）知∠D＝90°，

∴∠D＝∠AFB，

∴AF∥CD，

∴，

当AC＝4时，

∵⊙O的半径为2，

∴AB＝4，

∴此时AC＝AB，

∴，

∴，

∴BF＝DF．