题目内容
已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连结QE并延长交BP于点F．
（1）如图1，若AB=2
，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=2
，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关系式．
（1）如图1，若AB=2
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（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=2
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考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等边三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）由等边三角形的性质及勾股定理就可以得出AP=4
，就可以得出PE=2
，由勾股定理就可以得出EF的值；
（2）猜想EF=BF，证得△ABP≌△AEQ，结合等边三角形的性质，得出∠BEF=∠EBF，得出结论；
（3）过点F作FD⊥BE于点D，利用特殊角的三角函数，证得△ABP≌△AEQ，进一步求出以QF为边的等边三角形的面积即可．
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（2）猜想EF=BF，证得△ABP≌△AEQ，结合等边三角形的性质，得出∠BEF=∠EBF，得出结论；
（3）过点F作FD⊥BE于点D，利用特殊角的三角函数，证得△ABP≌△AEQ，进一步求出以QF为边的等边三角形的面积即可．
解答：解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠BAE=60°．
∵∠ABC=90°，
∴EF=2；
（2）EF=BF．理由如下：
∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
又∵∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF；
（3）在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2
．
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=
．
∴BF=
=2．
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x．
∴QF=QE+EF=x+2．
∴以QF为边的等边三角形的面积y=
(x+2)2=
x2+
x+
．
∴AE=AB，∠BAE=60°．
∵∠ABC=90°，
∴EF=2；
（2）EF=BF．理由如下：
∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ．
∴∠AEQ=∠ABP=90°．
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°．
又∵∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF；
（3）在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2
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由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=
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∴BF=
| BG |
| cos30° |
∴EF=2．
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x．
∴QF=QE+EF=x+2．
∴以QF为边的等边三角形的面积y=
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| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
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点评：此题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，特殊角的三角函数，等腰三角形的判定以及三角形的面积等知识点，注意梳理条件，作出适当的辅助线解决问题．
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