Question

6．正方形ABCD的边长是4，P是AD边的中点，点E在正方形边上（与顶点不重合），若△PBE是等腰三角形，则底边长为2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 本题分两种情况讨论：（1）当PB为腰时，若P为顶点，则E点和C点重合，此种情况不符合要求；若B为顶点，则E点为CD中点，进而可求出底PE的长；
（2）当PB为底时，E在BP的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E，由点E不与点A、C重合，根据勾股定理即可找出底PB的长．

解答 解：△PBE为等腰三角形分两种情况：
（1）当PB为腰时，如图1所示．
若点P为顶点，
∵点P为AD边的中点，
∴点E与点C重合（舍去）；
若点B为中点，
∵四边形ABCD为正方形，点P为AD边的中点，
∴点E为边CD的中点，
∴DP=DE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴PE=$\sqrt{D{P}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
（2）当PB为底时，如图2所示．
∵点E不与顶点重合，且点P为AD边的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
综上可知：等腰△PBE的底边长为2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是分PB为腰以及PB为底两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．