Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

【解析】

（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；

（2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-t2+t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值．

解：（1）将点A（4，0）、B（1，0）代入抛物线解析式得：

，

解得：，

则抛物线解析式为；

存在．

如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．

过D作y轴的平行线交AC于E．

设直线AC的解析式为：y＝mx+n，

则 ，

解得：，

由题意可求得直线AC的解析式为y＝x﹣2．

∴E点的坐标为（t，t﹣2）．

∴DE＝﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）＝﹣t2+2t．

∴S△DCA＝S△CDE+S△ADE＝×DE×OA＝×（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4．

∴当t＝2时，S最大＝4．

∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．