Question

【题目】如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），顶点的坐标为。则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程没有实数根。其中结论正确的个数为（）

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a，再利用x=-1时，a-b+c=0，则3a+c=0，于是可对①进行判断；由于-3≤c≤-2，c=-3a，所以-3≤-3a≤-2，解不等式组可对②进行判断；利用x=1时，二次函数有最小值n，则可对③进行判断；利用直线y=n与y=ax2+bx+c只有一个公共点，则直线y=n+1与y=ax2+bx+c有两个公共点，于是可对④进行判断．

∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，

∴b=-2a，

∵x=-1时，y=0，

即a-b+c=0，

∴a+2a+c=0，即3a+c=0，所以①正确；

∵抛物线与y轴的交点B在点（0，-2）与点（0，-3）之间（包含端点），

∴-3≤c≤-2，

而c=-3a，

∴-3≤-3a≤-2，

∴≤a≤1，所以②错误；

∵顶点D的坐标为（1，n）．抛物线开口向上，

∴x=1时，二次函数有最小值n，

∴a+b+c≤am2+bm+c，

即对于任意实数m，a+b≤am2+bm总成立，所以③正确；

∵顶点D的坐标为（1，n）．

∴直线y=n与y=ax2+bx+c只有一个公共点，

∴直线y=n+1与y=ax2+bx+c有两个公共点，

即关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个实数根，所以④错误．

故选：B．