Question

△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，∠ACB=60°，AD为∠BAC的平分线交⊙O于D，BE⊥AD于E交⊙O于F，连AF、CD，OG⊥AF于G，BH⊥AF于H交AE于K，下列结论：①OG=

1

2

DC；②OF=KF；③

OE

AC

=

3 -1

2

，其中正确的有（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：过O点作OM⊥BF于点M，连OA，设⊙O的半径为r，图形较复杂，在解题中要学会分解图形和图形中的已知和已经证出的结论要记住．由BC为⊙O直径得到∠BAC=90°，而AD为∠BAC的平分线，可得到弧DB=弧DC，利用垂径定理的推论得OD⊥BC，则△ODC为等腰直角三角形，DC=

2

OC=

2

r，再通过角度的计算可得到△OGF为等腰直角三角形，则OG=

2

2

OF=

2

2

r，于是有OG：DC=

2

2

r：

2

r=

1

2

，即OG=

1

2

DC；
通过证明Rt△KFH≌Rt△OFM得到KF=OF；
先证明△OME为等腰直角三角形得到OM=

2

2

OE，延长GO交BF于N点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到ON=2OM=

2

OE，NM=

3

OM=

6

2

OE，则BN=NO=

2

OE，BM=

2

OE+

6

2

OE=（

2

+

6

2

）OE，然后利用勾股定理得到r²=（

2

2

OE）²+[（

2

+

6

2

）OE]²，则OE：r=（

3

-1）：2，而AC=

1

2

BC=r，于是

OE

AC

=

3 -1

2

．

解答：解：过O点作OM⊥BF于点M，连OA，设⊙O的半径为r，如图，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
∴△ODC为等腰直角三角形，
∴DC=

2

OC=

2

r，
∵∠ACB=60°，
∴∠ABC=30°，
而BE⊥AD，
∴∠ABE=45°，
∴∠CBF=15°，
∴∠FAC=15°，
∵BH⊥AF，
∴∠BAH=90°-15°=75°，
∴∠ABH=90°-∠BAH=15°，
∴∠HBC=15°，
∵OG⊥AF，
∴OG∥BH，
∴∠GOC=∠HBC=15°，
而∠COF=2∠OBF=30°，
∴∠GOF=∠GOC+∠COF=15°+30°=45°，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴OG=

2

2

OF=

2

2

r，
∴OG：DC=

2

2

r：

2

r=

1

2

，即OG=

1

2

DC，所以①正确；

∵EA=EB，∠EAF=∠EBK，
∴Rt△AEF≌Rt△BEK，
∴EF=EK，
∴△EKF为等腰直角三角形，
∴∠EKF=45°，
∴∠AFK=∠EKF-∠KAF=45°-30°=15°，
在Rt△BFH中，∠HBF=30°，
∴HF=

1

2

BF，
而MF=

1

2

BF，
∴HF=MF，
∵∠OFM=∠OBF=15°，
∴Rt△KFH≌Rt△OFM，
∴KF=OF，所以②正确；

∵OA=OB，EA=EB，
∴△EAO≌△EBO，
∴∠OEB=∠OEA=

1

2

×90°=45°，
∴△OME为等腰直角三角形，
∴OM=

2

2

OE，
延长GO交BF于N点，如图，
∴∠BON=∠GOC=15°，
∴∠ONM=15°×2=30°，
∴ON=2OM=

2

OE，NM=

3

OM=

6

2

OE，
∴BN=NO=

2

OE，
∴BM=

2

OE+

6

2

OE=（

2

+

6

2

）OE，
在Rt△OMB中，OB²=OM²+MB²，
∴r²=（

2

2

OE）²+[（

2

+

6

2

）OE]²，
整理得r²=[（

3

+1）OE]²，
∴OE：r=（

3

-1）：2，
∵在Rt△ABC中，AC=

1

2

BC=r，
∴

OE

AC

=

3 -1

2

，所以③正确．
故选D．

点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理及其推论和圆周角定理及其推论在圆的证明题中经常用到，要熟练掌握；同时等腰直角三角形和含30°的直角三角形的性质会运用；勾股定理以及三角形全等的判定与性质会运用．