题目内容

如图，等边三角形ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的动点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰为△ABC面积的一半时，AE的长为________．

$\text{[math]}$
分析：可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
解答：

解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，
∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，
∴△ABC∽△EFG，
∴（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
即（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
解得EF= $\text{[math]}$ ，
∴EG= $\text{[math]}$ ，
过G点作GH⊥AE于点H，设AE=x，则AG=2-x，
∴∠AGH=30°，AH= $\text{[math]}$ AG= $\text{[math]}$ （2-x）=1- $\text{[math]}$ x，
EH=AE-AH=x- $\text{[math]}$ （2-x）= $\text{[math]}$ x-1，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（2-x）²-（1- $\text{[math]}$ x）²= $\text{[math]}$ ²-（ $\text{[math]}$ x-1）²，
整理得，3x²-6x+2=0，
解得x= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作辅助线，根据勾股定理列出方程是解题的关键．