Question

已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒．当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，AB⊥GH．

Answer 1

分析：（1）由GA∥BC，可得△ADG∽△BDF，然后由相似三角形的对应边成比例，易得

AG

BF

=

AD

DB

，继而可求得AG的长，然后过点E作EK⊥AG于点K，由含30°角的直角三角形的性质，可求得EK的长，继而求得答案；
（2）首先连接DE，易得△ADE是等边三角形，然后若AB⊥HE，则AO=OD，∠AEO=∠OED，易得△AGE是等腰三角形，继而求得答案．

解答：解：（1）∵GA∥BC，
∴∠GAD=∠B，∠AGD=∠BFD，
∴△ADG∽△BDF，
∴

AG

BF

=

AD

DB

，
∵AB=6，AD=2，
∴DB=4，
∵BF=t，
∴

AG

t

=

2

4

，
∴AG=

1

2

t，
过点E作EK⊥AG于点K，
∵∠BCA=60°，
∴∠CAK=60°，
∴∠AEK=30°，
∵AE=2，
∴AK=1，EK=

3

，
∴S=

1

2

AG•EK=

1

2

×

1

2

t×

3

=

3

4

t；

（2）连接DE，
∵AD=AE，
∵∠BAC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
若AB⊥HE，则AO=OD，∠AEO=∠OED，
∵GA∥DE，
∴∠AGE=∠GED，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE=2，
∴

1

2

t=2，
解得：t=4，
∴当t=4时，AB⊥GH．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．