Question

如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象经过第二象限的一点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
（1）求出点A、B两点的坐标及∠BAO的度数；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求AN•BM的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，得到A、B两点的坐标，然后根据三角函数求出∠BAO的度数；
（2）由（1）中条件，求出C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）连接AC，BC，
∵y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．
∴OA=OB=1，
∴OC与AB互相平分，且垂直，相等，
∴四边形AOBC为正方形，
对于一次函数y=x+1，令x=0，求得：y=1；令y=0，求得：x=-1，
∴OA=OB=1，
∴A（-1，0），B（0，1），
∴tan∠BAO=

1

1

=1，
∴∠BAO=45°，

（2）由（1）得，
∴C（-1，1），
将C（-1，1）代入y=

k

x

得：1=

k

-1

，即k=-1，
则反比例函数解析式为y=-

1

x

；

（3）过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，
设P（a，-

1

a

），可得ND=-

1

a

，ME=|a|=-a，
∵△AND和△BME为等腰直角三角形，
∴AN=

2

×（-

1

a

）=-

2

a

，BM=-

2

a，
则AN•BM=-

2

a

•（-

2

a）=2．

点评：本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键，同时要充分利用图形解答．