Question

在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作l_PBM．
（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0，2），
①直线l₁：y=2，直线l₂：y=x+2，直线l₃：y=

3

x+2，直线l₄：y=-2x+2都经过点P，在直线l₁，l₂，l₃，l₄中，是⊙O的“x关联直线”的是

 

；
②若直线l_PBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标x_M的最大值是

 

；
（2）点A（2，0），⊙A的半径为1，
①若P（-1，2），⊙A的“x关联直线”l_PBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为x_M，当x_M最大时，求k的值；
②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标y_p＞2，⊙A的两条“x关联直线”l_PCM，l_PDN是⊙A的两条切线，切点分别为C，D，作直线CD与x轴交于点E，当点P的位置发生变化时，AE的长度是否发生改变？并说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）①讨论是否为关联直线最直接的方式就是画图确定圆与直线是否有交点，画图易得l₁，l₂无交点，非关联直线，而l₄有两个交点，为关联直线，对l₃近似相切，则需要求证判断，利用求证相切的常规作法，作垂线讨论圆心到直线距离是否与半径相等易得结论．
②画图已知，相切时M点横坐标最大，作图利用解直角三角形，易得所求边长，即M横坐标最大值易知．
（2）①类似上小问，最大值时相切，利用解三角形得到最大时M点坐标，代入直线y=kx+k+2，即可求得k．
②根据题意画出图示，AE不在三角形中，不易表示，所以可以适当作辅助线，因为相切，通常都有圆心与切点的连线，如此可得垂直关系；而同时出现过P点的两条与圆的切线，通常连接圆心与P点，如此可得全等三角形等相等关系，此时看到PA⊥CD，则AE所属的三角形与PAO相似，则可试着将其转化．本题思考的确有一定难度，利用三角函数关系可以技巧的得出AF•AP=AD²，AF•AP=AE•AO，则有AD²=AE•AO，且AD，AO都为固定值，则易知AE值亦固定．

解答：解：（1）①l₃，l₄；
分析如下：

根据题意，如图1，l₁，l₂与⊙O没有交点，
对l₃，过点O作OB⊥AC于B，
∵A（0，2），C（-

2 3

3

，0），
∴AO=2，C0=

2 3

3

，
∴根据勾股定理，AC=

4 3

3

．
∴根据面积相等，OB=

AO•OC

AC

=1，
∵⊙O半径为1，
∴AC切⊙O于B，
∴l₃是⊙O的“x关联直线”．
对l₄，显然与⊙O有两个交点，故l₄是⊙O的“x关联直线”．
综上所述，l₃，l₄是⊙O的“x关联直线”．

②xM=

2 3

3

；
分析如下：

如图2，PM与⊙O相切于B点时，M的横坐标x_M最大，连接OB，则OB⊥PM，
在Rt△OPB中，
∵PO=2，OB=1，
∴∠OPB=30°，
∴OM=tan∠OPB•OP=

3

3

•2=

2 3

3

，
所以点M的横坐标x_M最大值为

2 3

3

．

（2）
如图3，直线PM⊙A相切于点B时，此时点M的横坐标x_M最大，
作PH⊥x轴于点H，连接AB，
HM=x_M+1，AM=x_M-2，
在Rt△ABM和Rt△PHM中，
∵tan ∠AMB=

AB

BM

=

PH

HM

，AB=1，PH=2
∴BM=

1

2

HM=

1

2

(xM+1)．
在Rt△ABM中，
∵AM²=AB²+BM²，
∴(xM-2)2=1+

1

4

(xM+1)2．
解得 xM=3±

4 3

3

．
∴点M的横坐标x_M最大时，xM=3+

4 3

3

，此时M（3+

4 3

3

，0），
∴代入直线y=kx+k+2，解得k=

3 -3

4

．

②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．理由如下：

如图4，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C，D，连接AC，AD，AP交CD于F，此时PC=PD．
在△ADP和△ACP中，

PC=PD PA=PA AC=AD

，
∴△ADP≌△ACP
∴∠CPF=∠DPF
∴AP⊥BC，
在Rt△ADF和Rt△ADP中，
∵∠ADF=∠APD，
∴sin∠ADF=sin∠APD，
∴AF•AP=AD²
在Rt△AEF和Rt△AOP中，
∵cos ∠EAF=

AF

AE

=

AO

AP

，
∴AF•AP=AE•AO
∴AD²=AE•AO
∵AD=1，AO=2，
∴AE=

1

2

，即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．

点评：本题重点考查直线与圆相切的相关性质，并结合直角坐标系利用三角函数、解直角三角形等相关技巧计算线段长度．最后一问难度较高，不过思路方面我们要牢记要想计算边长，我们通常需要通过辅助线将此线放在与其他简单三角形全等相似的三角形中，以便可以将此线段长度转化出来，这种思路需要学生在平时的题目中多加实践，总体来说本题前面常规，后面难度偏高，学生重点加强理解．