Question

19．如图，已知矩形ABCD，边AD=1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点F，DE交AB于点E，然后将矩形展平，将矩形ABCD沿CE折叠，若点B的对应点G恰好落在DE上，将矩形ABCD沿EH折叠，使顶点A落在DE上的点I，折痕EH交AD于点H．
（1）求∠CDG度数．
（2）求DC的长．
（3）求GI的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，以及折叠的性质∠ADE=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠ADC即可解决问题．
（2）首先证明AH=EB=EG=IH=ID，设IH=ID=AH=x，则HD=$\sqrt{2}$x，则有x+$\sqrt{2}$x=1，解方程即可解决问题．
（3）根据GI=DE-DI-GE即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°
由折叠知∠ADE=∠EDF=$\frac{1}{2}$∠ADC=45°，即∠CDG=45°．

（2）由折叠知AE=EF，
∵∠B=∠BCF=∠EFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴BC=EF，CF=BE
∴AE=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∴EG=CH；
由折叠知∠AEH=∠GEH，∠BEC=∠GEC，
∴∠GEC+∠HEG=90°，
∴∠HEC=90°
∴∠AEH+∠BEC=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠BEC=∠AHE，
在△AEF与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B=90°}\\{∠AHE=∠BEC}\\{AE=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BCE（AAS），
∴AH=BE=CF，
设IH=ID=AH=x，则HD=$\sqrt{2}$x，则有x+$\sqrt{2}$x=1，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
∴AH=EB=CF=$\sqrt{2}$-1，
∴CD=DF+CF=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$．

（3）由（2）可知，DE=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，DI=EG=$\sqrt{2}$-1，
∴GI=ED-DI-EG=$\sqrt{2}$-2（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．