Question

抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+b上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE.

（1）求k的值；

（2）求证：这条抛物线经过点A；

（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系.

Answer 1

(1)k＝1……………………… (1分)

(2)将顶点M坐标代入y＝x＋1化简得：(4c－4)a＝b²－2b………………… (3分)

∵无论a为和何值，等式都成立，所以4c－4＝0，b²－2b＝0

∴c＝1，b＝2

（也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值）

∴抛物线经过点A……………………… (5分)

 (3)由题意：方程mx＋1＝ax²＋2x＋1的△＝0，

∴(2－m)²＝0，m＝2………………………(7分)

∴点B，C，D的坐标分别是B(－，)，C(－， )，D(－，)；……… (10分)

用a表示出BC，CD的长度，得到BC＝CD＝||………………… (12分)

（求出BC＝－或不扣分）