Question

（2012•河口区二模）已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线对称轴得到关于a、b的一个方程，再把点A、C的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出a、b、c的值，即可得解；
（2）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接AC交对称轴于点P，则点P就是所求的使得△PBC的周长最小的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，再把x=-1代入直线解析式求出y的值，即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，经过点A（-3，0）、C（0，-2），
∴

- b 2a =-1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴抛物线解析式为y=

2

3

x²+

4

3

x-2；

（2）如图，连接AC，交抛物线对称轴于点P，则点P就是所求的使得△PBC的周长最小的点，
设直线AC的解析式为y=kx+m（k≠0），
∵A（-3，0）、C（0，-2），
∴

-3k+m=0 m=-2

，
解得

k=- 2 3 m=-2

，
∴直线AC的解析式为y=-

2

3

x-2，
当x=-1时，y=-

2

3

×（-1）-2=-

4

3

，
∴点P的坐标为（-1，-

4

3

）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），利用轴对称确定最短路线问题，（2）确定出点P的位置是解题的关键．