Question

【题目】如图，点是等边三角形内一点，连接，，，，．以为顶点，为一边，在外部作，且，连接，．

（1）求证：；

（2）根据推理可得__________，__________；（用含的代数式表示）

（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）为125°或110°或140°．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质求出，，然后利用SAS定理证得，然后根据全等三角形的和等式的性质可求，，从而判定△OCD是等边三角形，从而求解；

（2）根据∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD求解；根据全等三角形的性质可知∠ADC=∠BOC=α，又由等边三角形的性质可得∠ODC=60°，从而求出∠ODA的度数；

（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．

解：（1）为等边三角形，

，．

又，，

，，，

又，

是等边三角形．

．

（2）由题意可知：∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD且，

又由（1）可知是等边三角形．

∴∠COD=60°

∴∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α；

由（1）可知：且是等边三角形

∴∠ADC=∠BOC=α且∠ODC=60°

∴∠ADC=∠BOC-∠ODC=α-60°

故答案为：；；

（3）解：①当时，，

即，

解，得．

②当时，，

，

即，

，

解，得．

③当时，，

即，

解，得．

当为125°或110°或140°时，是等腰三角形．