Question

如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AE=CF，BD交AC于点M．
（1）试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论；
（2）求证：MB=MD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据DE⊥AC，BF⊥AC可以证明DE∥BF；再求证Rt△ABF≌Rt△CDE可得BF=DE，即可解题；
（2）根据（1）中结论可证△DEM≌△BFM，即可解题．

解答：解：（1）DE=BF，且DE∥BF，
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°．
∴DE∥BF，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF=DE；
（2）在△DEM和△BFM中，

∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴MB=MD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△ABF≌Rt△CDE是解题的关键．